坍塌的沙发法则
本文由GPT翻译，原文链接为:
原文数学天花板：你的认知瓶颈在哪里？
某天下午，我的系主任在教职工休息室里碰到了我，提出了一个发人深思的问题。
（他后来承认，他只是好奇是否能够在这个博客上玩傀儡。答案是一个响亮的“是的”：我像一个傀儡一样跳舞。）
那么，我们有天花板吗？
传统的正统说：“绝对有。”有高智商和低智商。有“数学人”和“非数学人”。有些孩子就是“懂得了”；而其他人则不是。
试着问问成年人有关他们的数学教育：他们把它看作是某种NCAA锦标赛。每个人都会被淘汰，问题只是你能在游戏中坚持多久。“我处理不了代数”意味着第一轮的淘汰。“我在多元微积分停下了”意味着“嘿，我没赢，但我为进入最后四强而自豪。”
但是教师们中间有一个新的正统观念，那就是“绝对没有”。
你得欣赏这种乐观主义，这种大众主义。（看看你椅子下面——每个人都得到了一本范畴论教材！）但我认为你也得像我的朋友Karen一样怀疑。
Karen，我们有天花板吗？
Karen很努力。Karen会问问题。Karen相信自己。但Karen仍然觉得某些数学超出了她的能力范围，超出了她的天花板。
学生（“每个人都有极限”）和老师（“任何人都可以做任何事！”）之间的鸿沟似乎是不可逾越的。老师可能会说“你能做到！”作为鼓励，但一个沮丧的学生可能会听到这些话作为对他们努力的谴责（或者作为一种妄想的虚假）。有没有办法调和这些矛盾？
我相信有：破损沙发定律。
在大学里，我的室友和我从一些朋友那里买了一张二手沙发（只有几个月的历史）。他们住在一楼；我们住在四楼。他们友好地帮我们把它搬上了楼。
当他们走到三楼的楼梯口时，他们听到了一声爆裂声。一个小的金属条从沙发上掉了下来。我们所有人都检查了一下，但甚至找不到这块零件从哪里掉下来的。由于沙发看起来很好，我们只是耸了耸肩。
一个星期后，沙发开始下垂。“它一直都是这样吗？”我们
彼此问道。
一个月后，它尴尬地下垂。坐在尽头，沙发的弯曲会把你（和其他人）倒在一个中心的一堆里。
到学期结束时，它已经在灰尘的宿舍地板上崩溃成了一堆，曾经繁荣的沙发的残骸。
现在，宜家家具是客厅的果蝇：以寿命短暂而著称。我们沙发的寿命无疑有一个上限，也许是三年或四年。但这个沙发仅仅活了不到八个月。
事后看来，这个损坏的零件绝对至关重要。沙发没有它看起来是完好无损的。但是每一天，随着每个新的屁股，重量都会压在结构的某些部分上，这些部分本来不应该独自承受负荷。框架变得扭曲。压力无法持续。沙发的内部时钟悄悄地滴答作响，直到支撑不足变得不堪承受，整个东西都崩溃了。
可悲的是，在数学课上也是如此。
假设你在八年级表现出色。你可以完美流畅而精确地绘制线性方程的图形。你可以计算它们的斜率，识别点，并生成平行和垂直线。
但是如果你缺少一个简单的理解——这些图形只是满足方程的x-y对——那么你就是一个破损的沙发。你缺少了一个未来学习至关重要的部分。二次函数会困扰你；正弦曲线永远不会让你感到满意；你可能会在微积分后退出，安慰自己：“嘿，至少我的天花板比一些人的高。”
你可能会问：“既然我现在没事，难道我不能在真正需要的时候补上那块缺失的部分吗？”有时候，是的。但这要困难得多。你现在已经没有了那个关键部分。你已经花了几年时间去做那个关键部分。你已经发展出了一些临时的方法和片段式的方法来应付。这些方法有一段时间是有效的，但它们扭曲了框架，现在你不够用了。要想前进，你必须先放弃你的权宜之计——有效地把沙发弯回原来的形状——然后才能继续前进。但放弃已经得到你这么远的策略是非常困难的。
以后补上缺失的部分意味着等待损害已经开始，而且非常难以撤消。
我相信，这就是许多学生经历的天花板。这不是他们神经元固有的限制。这是我们创造的。我们通过言语或行动说：“你不理解没关系。只需按照这些步骤进行并在后面检查答案即可。”我们通过说：“只有聪明人才能理解；至于其他人，我只是想确保他们能做。”我们通过说：“好吧，他们现在不理解，但他们以后会自己搞明白的。”
这样做，我们可能成功地把沙发搬上了楼。但在这个过程中失去了一些东西。把我们的学生没有关键的理解送出去就像把他们 marching 进入战场没有备用弹药一样。当然，他们会射击几发子弹，但到他们意识到缺少了什么时候，已经太迟了，无法挽回。
一个能够回答问题而不理解的学生就是一个有过期日期的学生。
编辑，2015年4月15日：这真是一个响应啊！下面的评论区就像是我梦中的咖啡店里的偷听者。我希望我有时间逐个回复；请知道我读过并享受了你们思想深沉的回复和讨论。